Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\)\(AB = a,AC = 2a\). Đỉnh \(S\) cách đều

Câu hỏi số 448908:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\)\(AB = a,AC = 2a\). Đỉnh \(S\) cách đều các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) và mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) hợp với mặt đáy một góc \({60^0}\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A. \(V = {a^3}\)

B. \(V = \dfrac{1}{3}{a^3}\)

C. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\)

D. \(V = \sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448908

Phương pháp giải

- Chóp có các cạnh bên bằng nhau có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất đường trung bình và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\), trong đó \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao tương ứng.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(HA = HB = HC\).

Mà \(SA = SB = SC\) (gt) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}HM//AC\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot HM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\\HM \subset \left( {ABC} \right),\,\,HM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;HM} \right) = \angle SMH = {60^0}\).

Ta có \(MH = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\) (do \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Vì \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) nên \(SH = MH\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

Diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}a.2a = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \dfrac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.