Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2}

Câu hỏi số 448909:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A. \(1\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448909

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Nhẩm nghiệm của phương trình, đưa phương trình hoành độ giao điểm về dạng tích một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khác với nghiệm của phương trình bậc nhất.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}\).

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( {**} \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\f\left( 1 \right) = {1^2} + \left( {m + 3} \right).1 + {m^2} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\{m^2} + m + 4 \ne 0,\forall m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 < 0\\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3.\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy có \(3\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.