Cho các số thực dương \(x;\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\). Tìm

Câu hỏi số 448912:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x;\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = x + y\).

A. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {11} - 3}}{3}\)

B. \({P_{\min }} = \dfrac{{18\sqrt {11} - 29}}{9}\)

C. \({P_{\min }} = \dfrac{{9\sqrt {11} - 19}}{9}\)

D. \({P_{\min }} = \dfrac{{9\sqrt {11} + 19}}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448912

Phương pháp giải

- Biến đổi đẳng thức đã cho rồi sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để suy ra mối quan hệ \(x,y\).

- Rút biến \(x\) theo \(y\) rồi thay vào tìm GTNN của \(P\) bằng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

ĐK : \(\dfrac{{1 - xy}}{{x + 2y}} > 0 \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Leftrightarrow xy < 1\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\dfrac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - {\log _3}\left( {x + 2y} \right) - 3xy + 4 = x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - 3xy + 3 + 1 = x + 2y + {\log _3}\left( {x + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) + 1 + \left( {3 - 3xy} \right) = x + 2y + {\log _3}\left( {x + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) + {\log _3}3 + \left( {3 - 3xy} \right) = x + 2y + {\log _3}\left( {x + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + \left( {3 - 3xy} \right) = \left( {x + 2y} \right) + {\log _3}\left( {x + 2y} \right)\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {3 - 3xy} \right) = f\left( {x + 2y} \right) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 - x = 2y + 3xy \Leftrightarrow 3 - x = \left( {2 + 3x} \right).y\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{3 - x}}{{3x + 2}}\,\,\left( {x > 0} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có \(P = x + y = x + \dfrac{{3 - x}}{{3x + 2}}\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Xét \(g\left( x \right) = x + \dfrac{{3 - x}}{{3x + 2}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{ - 11}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\).

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {3x + 2} \right)^2} = 11 \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt {11} - 2}}{3}\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\\g\left( {\dfrac{{\sqrt {11} - 2}}{3}} \right) = \dfrac{{2\sqrt {11} - 3}}{3}\end{array}\)

BBT :

Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {11} - 3}}{3}\) khi \(x = \dfrac{{\sqrt {11} - 2}}{3};\,\,y = \dfrac{{\sqrt {11} - 1}}{3}\).

Chọn A.

Chú ý khi giải

Chú ý điều kiện quan trọng \(x,\,\,y > 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.