Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900, góc ABC bằng 600.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.

Câu hỏi số 45621:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 90⁰, góc ABC bằng 60⁰.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 45⁰, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.

A. V = 4√5a³ và cos = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

B. V = 3√5a³ và cos = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

C. V = 2√5a³ và cos = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

D. V = 2√3a³ và cos = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:45621

Giải chi tiết

Tính được góc $\widehat{C'CH}$ = 45⁰, BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a

HC = HC' = a, GH = $\frac{a}{3}$

V_ABCA’B’C= C’H.S_ABC= a. $\frac{1}{2}$ .AC.CB = 2√3a³ (đvtt)

Có $\overrightarrow {B'G}$ = $\overrightarrow {B'C'}$ + $\overrightarrow {C'H}$ + $\overrightarrow {HG}$

và $\overrightarrow{B'C'}$ ⊥ $\overrightarrow{C'H}$ => $\overrightarrow{B'C'}$ . $\overrightarrow{C'H}$ = 0 , $\overrightarrow{C'H}$ ⊥ $\overrightarrow{HG}$ => $\overrightarrow{C'H}$ . $\overrightarrow{HG}$ = 0

nên B’G² = B’C² + C’H² + HG² + 2B’C’.HG.cos( $\overrightarrow{B'C'}$ . $\overrightarrow{HG}$ )

Do cos( $\overrightarrow{B'C'}$ . $\overrightarrow{HG}$ ) = - cos( $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{GH}$ ) = -cos60⁰ = - $\frac{1}{2}$

=> B’G² = $\frac{40a^{2}}{9}$ ; GC' = $\sqrt{HC'^{2}+GH^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{10}}3{}$

cosB’C’G = $\frace_B'C{'^2} + GC{'^2} - B'{G^2}e_2B'C'.GC'$ = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

góc giữa BC và C’G bằng góc gữa B’C’ và C’G và có cosin bằng $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

Cách khác:

cos(BC,C'G) = |cos $\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {C'G} } \right)$ | = $\frac{|\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{C'G}|}{CB.CG'}$

Tính được C'G = $\frac{a\sqrt{10}}{3}$ và $\overrightarrow {C'G}$ = $\overrightarrow {C'H}$ + $\overrightarrow {HG}$ = $\overrightarrow {C'H}$ + $\frac{1}{6}\overrightarrow {CM}$

= $\overrightarrow {C'H}$ + $\frac{1}e_12\overrightarrow {CA}$ + $\frac{1}e_12\overrightarrow {CB}$

=> $\overrightarrow {C'G}$ . $\overrightarrow {CB}$ = $\frac{1}{2}$ CB² = $\frac{a^{2}}{3}$

=> cos( BC; C'G) = $\frac{1}e_2\sqrt {10}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.