Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của

Câu hỏi số 468553:

Thông hiểu

Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\)

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của \(a\) để biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468553

Phương pháp giải

Đưa biểu thức \(A\) về dạng \(A = \sqrt {{a^2} + 1} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1 + 4}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + 1} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {{a^2} + 1} \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{a^2} + 1} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 1} \cdot \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt {{a^2} + 1} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1} = \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 3\)\( \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \min A = 4 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 3 \)

Vậy có \(2\) giá trị của \(a\) để biểu thức \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.