Cho biểu thức \(P = x + y + z\) với \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) và \({y^2} + yz + {z^2} = 1 -

Câu hỏi số 468559:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = x + y + z\) với \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) và \({y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left| P \right| \le 1\)

B. \(\left| P \right| \le 2\)

C. \(\left| P \right| \le \sqrt 2 \)

D. \(\left| P \right| \le \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468559

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:

\(\begin{array}{l}{y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz = 1\end{array}\)

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương: \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{y^2}\); \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{z^2}\)

Giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}{y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{2} + {y^2} + yz + {z^2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + yz + \dfrac{1}{2}{z^2} + \dfrac{1}{2}{z^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + yz = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz = 1\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{y^2}\) ta có: \(\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{2}{y^2}} = xy\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{z^2}\) ta có:

\(\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{2}{z^2}} = xz\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz \ge xy + xz + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz\\ \Leftrightarrow 1 \ge xy + xz + yz + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \ge 2xy + 2xz + 2yz + {x^2} + {y^2} + {z^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {P^2} \le 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left| P \right| \le \sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.