Cho biểu thức \(P = x + y + z\) với \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) và \({y^2} + yz + {z^2} = 1 -

Câu hỏi số 468559:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = x + y + z\) với \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) và \({y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left| P \right| \le 1\)

B. \(\left| P \right| \le 2\)

C. \(\left| P \right| \le \sqrt 2 \)

D. \(\left| P \right| \le \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468559

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:

\(\begin{array}{l}{y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz = 1\end{array}\)

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương: \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{y^2}\); \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{z^2}\)

Giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}{y^2} + yz + {z^2} = 1 - \dfrac{{3{x^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{2} + {y^2} + yz + {z^2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + yz + \dfrac{1}{2}{z^2} + \dfrac{1}{2}{z^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + yz = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz = 1\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{y^2}\) ta có: \(\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{2}{y^2}} = xy\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(\dfrac{1}{2}{z^2}\) ta có:

\(\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{2}{z^2}} = xz\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{z^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz \ge xy + xz + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz\\ \Leftrightarrow 1 \ge xy + xz + yz + \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \ge 2xy + 2xz + 2yz + {x^2} + {y^2} + {z^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {P^2} \le 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left| P \right| \le \sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.