Cho hàm số: \(y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x} \)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 469629:

Thông hiểu

Cho hàm số: \(y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x} \)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\frac{1}{2} \le y \le \frac{5}{2}\)

B. \(0 \le y \le \sqrt 2 \)

C. \(1 \le y \le \sqrt 2 \)

D. \(\sqrt 2 \le y \le \frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469629

Phương pháp giải

Bình phương hai vế sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} \ge 0\\\sqrt {3 - x} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x} \ge 0\).

Ta có: \(y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^2} = x - 2 + 3 - x + 2\sqrt {x - 2} .\sqrt {3 - x} \\ \Rightarrow {y^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \ge 1\\ \Rightarrow y \ge 1\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3 - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\min y = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {x - 2} \right)\) và \(\left( {3 - x} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}x - 2 + 3 - x \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \\ \Rightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \le 1\\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \le 1 + 1\\ \Rightarrow {y^2} \le 2\\ \Rightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 2 = 3 - x\)\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Vậy \(\max \,y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Vậy \(1 \le y \le \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10