Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x +

Câu hỏi số 469630:

Thông hiểu

Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\) với \(x > 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\) là

A. \(325\)

B. \(19\)

C. \(18\)

D. \(324\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469630

Phương pháp giải

Biến đổi \(f\left( x \right)\) về dạng \(f\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 10\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(m = \min f\left( x \right)\). Từ đó, tính được giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\)\( = \frac{{{x^2} + 8x + 2x + 16}}{x}\)\( = \frac{{{x^2} + 10x + 16}}{x}\)\( = x + \frac{{16}}{x} + 10\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x\) và \(\frac{{16}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}x + \frac{{16}}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{{16}}{x}} \\ \Leftrightarrow x + \frac{{16}}{x} \ge 8\end{array}\)

\( \Rightarrow x + \frac{{16}}{x} + 10 \ge 8 + 10\)

\( \Rightarrow x + \frac{{16}}{x} + 10 \ge 18\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 18\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \frac{{16}}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 16\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

\(\min f\left( x \right) = 18 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy \(m = 18\)

Thay \(m = 18\) vào biểu thức \({m^2} + 1\) ta có: \({18^2} + 1 = 325\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.