Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x +

Câu hỏi số 469630:

Thông hiểu

Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\) với \(x > 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\) là

A. \(325\)

B. \(19\)

C. \(18\)

D. \(324\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469630

Phương pháp giải

Biến đổi \(f\left( x \right)\) về dạng \(f\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 10\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(m = \min f\left( x \right)\). Từ đó, tính được giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\)\( = \frac{{{x^2} + 8x + 2x + 16}}{x}\)\( = \frac{{{x^2} + 10x + 16}}{x}\)\( = x + \frac{{16}}{x} + 10\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x\) và \(\frac{{16}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}x + \frac{{16}}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{{16}}{x}} \\ \Leftrightarrow x + \frac{{16}}{x} \ge 8\end{array}\)

\( \Rightarrow x + \frac{{16}}{x} + 10 \ge 8 + 10\)

\( \Rightarrow x + \frac{{16}}{x} + 10 \ge 18\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 18\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \frac{{16}}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 16\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

\(\min f\left( x \right) = 18 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy \(m = 18\)

Thay \(m = 18\) vào biểu thức \({m^2} + 1\) ta có: \({18^2} + 1 = 325\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10