Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) là

Câu hỏi số 469640:

Vận dụng

A. \(1\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469640

Phương pháp giải

\(A > 0\) nên \(A\) lớn nhất khi \(\frac{1}{A}\) nhỏ nhất và ngược lại.

Giải chi tiết

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left. \begin{array}{l}{x^4} + 1 > 0\\{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} > 0\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow A = \frac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{{x^4} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \frac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} \ge 0\\{x^4} + 1 > 0\end{array} \right.\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \frac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow 1 + \frac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\min \frac{1}{A} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy \(\max A = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.