Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}}\) với \(1 > x > 0.\) Khẳng định nào

Câu hỏi số 469641:

Vận dụng

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}}\) với \(1 > x > 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({\rm{max}}\,f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

B. \(\min f\left( x \right) = 4 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

C. \(\min f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

D. \({\rm{max}}\,f\left( x \right) = 4 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469641

Phương pháp giải

Chứng minh \(\frac{x}{{1 - x}} > 0\).

Xét \(f\left( x \right) - 4\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(\min f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Vì \(1 > x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{x}{{1 - x}} > 0\).

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}} - 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}} - \frac{{4x}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \frac{x}{{1 - x}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x}\) và \(\frac{x}{{1 - x}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \frac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \frac{x}{{1 - x}} \ge 2\sqrt {\frac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} \cdot \frac{x}{{1 - x}}} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) - 4 = \frac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \frac{x}{{1 - x}} \ge 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4 + 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 8\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{x}{{1 - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\4{\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\3{x^2} - 8x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vậy \(\min f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10