Cho hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 1\) (\(m\) là tham số

Câu hỏi số 472508:

Vận dụng

Cho hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 1\) (\(m\) là tham số )

a. Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x > 1\).

b. Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 1\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\) có \(\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 = 1 > 0\,\,\forall m\). Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = m + 1\\{x_2} = m - 1\end{array} \right.\,\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\).

a) \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x > 1\) \( \Rightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 > 0\,\,\forall x > 1\)

\( \Rightarrow m + 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 0\).

Vậy \(m \le 0\).

b) \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) \( \Rightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m - 1 \le 0 < 2 \le m + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\end{array}\)

Vậy \(m = 1\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:472508

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.