Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) a. Viết

Câu hỏi số 473858:

Vận dụng

Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\)

a. Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\).

b. Chứng minh rằng tiếp tuyến vừa tìm được có hệ số góc nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473858

Giải chi tiết

a) \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 3\\f''\left( x \right) = 6x + 6\\f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 = {x_0}\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = - 6\) và \(f\left( {{x_0}} \right) = 6\)

Vậy phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\) là:

\(y = - 6\left( {x + 1} \right) + 6 = - 6x\)

b) Hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = a\) bất kì là:

\(k = f'\left( a \right) = 3{a^2} + 6a - 3 = 3\left( {{a^2} + 2a + 1} \right) - 6 = 3{\left( {a + 1} \right)^2} - 6 \ge - 6\,\,\forall a\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = - 1 = {x_0}\).

Vậy tiếp tuyến vừa tìm được \(y = - 6x\) có hệ số góc nhỏ nhất.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.