Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Tính \(P = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \).

Câu 480378: Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Tính \(P = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \).

A. \(P = 12\)

B. \(P = 14\)

C. \(P = 16\)

D. \(P = 18\)

Câu hỏi : 480378

Phương pháp giải:

Từ đề bài, \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = - \dfrac{1}{4}\).

Áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(P = \dfrac{{1 - 2{{\left( {\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\)

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} + \dfrac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\sin }^4}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 - 2{{\left( {\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 - 2.{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = 14\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây