Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\tan \alpha - \cot \alpha = 1\). Tính \(P = \tan \alpha + \cot \alpha \).

Câu 480379: Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\tan \alpha - \cot \alpha = 1\). Tính \(P = \tan \alpha + \cot \alpha \).

A. \(P = 1\)

B. \(P = - 1\)

C. \(P = - \sqrt 5 \)

D. \(P = \sqrt 5 \)

Câu hỏi : 480379

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\) và \(\tan \alpha - \cot \alpha = 1\) để tính \(\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha \).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \alpha - \cot \alpha = 1\\ \Leftrightarrow \tan \alpha - \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = 1\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha - \tan \alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\\tan \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\,\,\\cos\alpha < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} < 0\)

\( \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\)\( \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{2}{{1 - \sqrt 5 }}\).

Thay \(\tan \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) và \(\cot \alpha = \dfrac{2}{{1 - \sqrt 5 }}\) vào \(P\) ta được:

\(P = \tan \alpha + \cot \alpha \)\( = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{2}{{1 - \sqrt 5 }} = - \sqrt 5 \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây