Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) đối

Câu hỏi số 497282:

Vận dụng

Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x - 2\). Biết đường thẳng \(x = 6\) cắt đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) tại \(A\), cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(B\left( {6;a} \right)\) sao cho \(AB = 6\) và tung độ của \(A\) lớn hơn tung độ của \(B\). Giá trị của \(a + b\) gần nhất với số nào dưới đây?

A. \(2\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497282

Giải chi tiết

Lấy \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với đường thẳng \(y = x - 2\) \( \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\) là \(x + y - {x_0} - f\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Gọi \(I\) là giao điểm của 2 đường thẳng \(x - y - 2 = 0\) và \(x + y - {x_0} - f\left( {{x_0}} \right) = 0\).

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x + y - {x_0} - f\left( {{x_0}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + y = {x_0} + f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_0} + f\left( {{x_0}} \right) + 2}}{2}\\y = \dfrac{{{x_0} + f\left( {{x_0}} \right) - 2}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_0} + f\left( {{x_0}} \right) + 2}}{2};\dfrac{{{x_0} + f\left( {{x_0}} \right) - 2}}{2}} \right)\).

Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(I\) \( \Rightarrow M'\left( {f\left( {{x_0}} \right) + 2;{x_0} - 2} \right) \in \) đồ thị hàm số \(y = {a^x}\).

\( \Rightarrow {x_0} - 2 = {a^{f\left( {{x_0}} \right) + 2}} \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) + 2 = {\log _a}\left( {{x_0} - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = {\log _2}\left( {{x_0} - 2} \right) - 2\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {\log _a}\left( {x - 2} \right) - 2\).

Ta có: \(A\left( {6;{a^6}} \right);\,\,B\left( {6;{{\log }_a}4 - 2} \right)\).

Vì \(AB = 6\) nên ta có \(\left| {{{\log }_a}4 - 2 - {a^6}} \right| = 6\).

Vì \({y_A} > {y_B} \Rightarrow {a^6} > {\log _a}4 - 2 \Leftrightarrow {a^6} - {\log _a}4 + 2 = 6\) \( \Leftrightarrow {a^6} = {\log _a}4 + 4\).

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(\sqrt 2 \).

Khi đó ta có \(A\left( {6;8} \right);\,\,B\left( {6;2} \right)\) \( \Rightarrow \,\,b = 2\).

Vậy \(a + b = \sqrt 2 + 2 \approx 3,41\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.