Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {{x^2}} \right)

Câu hỏi số 497283:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right) + {x^4} - 4x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\), khi đó \(\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{7}{6}\)

B. \(\dfrac{8}{{15}}\)

C. \(\dfrac{7}{{10}}\)

D. \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497283

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right) + {x^4} - 4x\\ \Leftrightarrow 2xf\left( {{x^2}} \right) = 4xf\left( x \right) + 2{x^5} - 8{x^2}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = 4\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {2{x^5} - 8{x^2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)} = 4\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} - \dfrac{7}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} - \dfrac{7}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} = 4\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} - \dfrac{7}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{11}}{{12}}\end{array}\)

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f\left( 1 \right) - 2\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \end{array}\)

Từ \(f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right) + {x^4} - 4x\) thay \(x = 1\) ta có \(f\left( 1 \right) = 2f\left( 1 \right) + 1 - 4 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 3\).

Vậy \(I = 3 - 2.\dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{7}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.