Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 497284:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + 2z - 36 = 0\) và điểm \(N\left( {3;3;3} \right)\). Từ một điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\) kẻ các tiếp tuyến phân biệt \(MA,\,\,MB,\,\,MC\) đến \(\left( S \right)\) (\(A,\,\,B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Khi khoảng cách từ \(N\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(ax + 2y + bz + c = 0\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:

A. \(6\)

B. \(0\)

C. \( - 2\)

D. \( - 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497284

Giải chi tiết

Sưu tầm nhóm Giáo viên Toán Việt Nam

Gọi điểm \(M\left( {m;n;p} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 2m + n + 2p - 36 = 0\).

Mặt cầu \(\left( P \right):\,\,2x + y + 2z - 36 = 0\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 6\).

Vì \(MA,\,\,MB,\,\,MC\) là các tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(MA = MB = MC = \sqrt {O{M^2} - {R^2}} = \sqrt {{m^2} + {n^2} + {p^2} - 36} \) (\({m^2} + {n^2} + {p^2} - 36 > 0\)).

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,C\) thuộc mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) tâm \(M\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{m^2} + {n^2} + {p^2} - 36} \).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) là: \({\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y - n} \right)^2} + {\left( {z - p} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2} - 36\).

Lại có \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(mx + ny + pz - 36 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua điểm \(K\left( {2;1;2} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right) \le NK = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) \bot NK\).

\( \Rightarrow mp\left( {ABC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {KN} = \left( {1;2;1} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {2;1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \) Khi khoảng cách từ \(N\) đến \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + 2y + z - 6 = 0\) \( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = - 6\).

Vậy \(a + b + c = - 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.