Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất \(12\) viên kim cương to và \(9\) viên kim

Câu hỏi số 502823:

Thông hiểu

Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất \(12\) viên kim cương to và \(9\) viên kim cương nhỏ. Từ \(1\) tấn Cacbon loại \(1\) (giá \(100\) triệu đồng) có thể chiết xuất được \(6\) viên kim cương to và \(3\) viên kim cương nhỏ, từ \(1\) tấn Cacbon loại \(2\) (giá \(40\) triệu đồng) có thể chiết xuất được \(2\) viên kim cương to và \(2\) viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to có giá \(20\) triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá \(10\) triệu đồng. Hỏi trong một tháng công ty này thu về được nhiều nhất là bao nhiêu tiền? Biết rằng mỗi tháng chỉ có thể sử dụng tối đa \(4\) tấn Cacbon mỗi loại.

A. \(200\) triệu

B. \(280\) triệu

C. \(150\) triệu

D. \(110\) triệu

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:502823

Phương pháp giải

Bước 1: Chuyển các điều kiện trong bài toán kinh tế thành 1 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 2: Vẽ và xác định miền nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Bước 3: Biểu diễn hàm cần tối ưu \(F\left( {x;\,\,y} \right) = ax + by\) theo các ẩn \(x;\,\,y \in S\)

Bước 4: Thay tọa độ các đỉnh của miền nghiệm vào \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) để tìm \({F_{\min }}\) hoặc \({F_{\max }}\) để kết luận.

Giải chi tiết

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số tấn Cacbon loại \(1,\,\,2\,\,\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 2y \ge 12\\3x + 2y \ge 9\\0 \le x \le 4\\0 \le y \le 4\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\)

Số tiền mua nguyên liệu là: \(100x + 40y\) (triệu đồng)

Số tiền bán là: \(20\left( {6x + 2y} \right) + 10\left( {3x + 2y} \right) = 150x + 60y\) (triệu đồng)

Lợi nhuận hàng tháng của công ty là: \(\left( {150x + 60y} \right) - \left( {100x + 40y} \right) = 50x + 20y\) (triệu đồng)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) để \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 50x + 20y\) đạt giá trị lớn nhất.

Vẽ và xác định miền nghiệm của \(\left( I \right)\):

\({d_1}:\,\,6x + 2y = 12\)

\({d_2}:\,\,3x + 2y = 9\)

\({d_3}:\,\,\,x = 0\), \(x = 4\)

\({d_4}:\,\,\,y = 0\), \(y = 4\)

+) Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là ngũ giác \(ABCDE\) (kể cả biên)

+) \(A\left( {\dfrac{2}{3};\,\,4} \right),\,\,B\left( {4;\,\,4} \right),\,\,C\left( {4;\,\,0} \right),D\left( {3;\,\,0} \right),E\left( {1;\,\,3} \right)\)

+) \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 50x + 20y\)

\(F\left( A \right) = \dfrac{{340}}{3};\,\,F\left( B \right) = 280;\,\,F\left( C \right) = 200;\,\,F\left( D \right) = 150;\,\,F\left( E \right) = 110\)

\( \Rightarrow \max F\left( {x;\,\,y} \right) = F\left( B \right) = 280\)

Vậy trong một tháng công ty thu được nhiều nhất \(280\) triệu đồng tiền lãi.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.