Số nghiệm của phương trình $\sin 2x - \cos x = 1 + {\log _2}\left( {\sin x} \right)$ trên khoảng $\left(

Câu hỏi số 508012:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình $\sin 2x - \cos x = 1 + {\log _2}\left( {\sin x} \right)$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ là:

A. $4$

B. $3$

C. $2$

D. $1$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508012

Giải chi tiết

Vì $\sin x > 0\,;\,\,\cos x > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên phương trình đã cho tương đương:

$\begin{array}{l}\sin 2x - \cos x + {\log _2}\left( {\cos x} \right) = 1 + {\log _2}\left( {\sin x} \right) + {\log _2}\left( {\cos x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) - \cos x = {\log _2}\left( {\sin 2x} \right) - \sin 2x\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\log _2}t - t$, với $t \in \left( {0;1} \right)$ ta có $f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} - 1 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)$

Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$

Từ phương trình $\left( * \right)$ ta có: $f\left( {\cos x} \right) = f\left( {\sin 2x} \right) \Leftrightarrow \cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ hay $x = \frac{\pi }{6}$ vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Vậy số nghiệm của phương trình là $1$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.