Biết phương trình ${\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt

Câu hỏi số 508013:

Vận dụng

Biết phương trình ${\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)$ có một nghiệm dạng $x = a + b\sqrt 2 $ trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính $2a + b$.

A. $3$

B. $8$

C. $4$

D. $5$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508013

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\sqrt x > \frac{1}{{\sqrt x }}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = {\log _5}\left( {t + 1} \right) + 2{\log _3}t$ trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\ln 5}} + \frac{2}{{t.\ln 3}} > 0$ với mọi $t \in \left( {2; + \infty } \right)$

Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Từ đó ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2\sqrt x } \right) = f\left( {x - 1} \right) \Rightarrow 2\sqrt x = x - 1 \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}\sqrt x = 1 - \sqrt 2 \\\sqrt x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$

Vậy $\sqrt x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3\,;\,\,b = 2$

Vậy $2a + b = 2.3 + 2 = 8$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.