Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 3C_n^{n - 1} = 11n.\)Xét khai triển \(P\left( x \right) =
Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 3C_n^{n - 1} = 11n.\)
Xét khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\). Tìm hệ số lớn nhất của\(P\left( x \right)\)?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng các công thức tổ hợp, chỉnh hợp và công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\).
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}n \ge 2\\n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\). Xét:
Ta có hệ số \({a_k} = {2^{15 - k}}C_{15}^k = {2^{15 - k}}.\dfrac{{15!}}{{k!.\left( {15 - k} \right)!}}\)
Giả sử hệ số \({a_k}\) lớn nhất, ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{15 - k}}.\dfrac{{15!}}{{k!.\left( {15 - k} \right)!}} \ge {2^{16 - k}}.\dfrac{{15!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left( {16 - k} \right)!}}\\{2^{15 - k}}.\dfrac{{15!}}{{k!.\left( {15 - k} \right)!}} \ge {2^{14 - k}}.\dfrac{{15!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {14 - k} \right)!}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{k} \ge \dfrac{2}{{16 - k}}\\\dfrac{2}{{15 - k}} \ge \dfrac{1}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - k \ge 2k\\2(k + 1) \ge 15 - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \le \dfrac{{16}}{3}\\k \ge \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{3} \le k \le \dfrac{{16}}{3}\)
Vì \(k \in \mathbb{N}\) nên nhận \(k = 5.\)
Vậy hệ số lớn nhất \({a_5} = {2^{10}}.C_{15}^5\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
