Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và hình chiếu vuông

Câu hỏi số 514309:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Gọi \(\varphi \) là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\cot \varphi = \dfrac{5}{{\sqrt {15} }}.\)

B. \(\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}.\)

C. \(\varphi = {30^0}.\)

D. \(\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm AB, suy ra \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy (ABCD) là HD. Do đó \(\widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH}.\)

● Tam giác SAB đều cạnh a nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

● Tam giác AHD vuông tại

\(A\,\, \Rightarrow HD = \sqrt {A{H^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Tam giác vuông SHD, có \(\cot \widehat {SDH} = \dfrac{{DH}}{{SH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{5}{{\sqrt {15} }}.\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:514309

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.