Cho hàm số \(f(x) = (x + 2a)(x + 2b - a)(ax + 1)\). Có bao nhiêu cặp \((a;b)\) để hàm số \(f(x)\) đồng

Câu hỏi số 532295:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x) = (x + 2a)(x + 2b - a)(ax + 1)\). Có bao nhiêu cặp \((a;b)\) để hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532295

Phương pháp giải

Tính đạo hàm \(f'(x)\) đưa về dạng \(f'(x) = m{x^2} + nx + p\)

Để \(f'(x) \ge 0\,\,\forall x \in {\bf{R}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{{\Delta _{f'}} \le 0}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết

\(f(x) = (x + 2a)(x + 2b - a)(ax + 1)\)

Hàm số có tập xác định \(D = {\bf{R}}\)

\(\begin{array}{l}f'(x) = 1.(x + 2b - a).(ax + 1) + 1.(x + 2a).(ax + 1) + a.(x + 2a).(x + 2b - a)\\ = (x + 2b - a)(ax + 1) + (x + 2a)(ax + 1) + (ax + 2{a^2})(x + 2b - a)\\ = a{x^2} + x + 2abx + 2b - {a^2}x - 1 + a{x^2} + x + 2{a^2}x + 2a\\ + a{x^2} + 2abx - {a^2}x + 2{a^2}x + 4{a^2}b - 4{a^3}\\ = 3a{x^2} + (1 + 2ab - {a^2} + 1 + 2{a^2} + 2ab - {a^2} + 2{a^2})x + (2b - 1 + 2a + 4{a^2}b - 4{a^3})\\ = 3a{x^2} + (2 + 4ab + 2{a^2})x + (2b - 1 + 2a + 4{a^2}b - 4{a^3})\end{array}\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \({\bf{R}} \Leftrightarrow f'(x) \ge 0\,\,\forall x\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a > 0}\\{{\Delta _{f'}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{{{(2 + 4ab + 2{a^2})}^2} - 4.31.(2b - 1 + 2a + 4{a^2}b - 4{a^3}) \le 0\,\,\,\,\,(*)}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét (*):

\(\begin{array}{l}4 + 16{a^2}{b^2} + 4{a^4} + 16ab + 8{a^2} + 16{a^3}b - 24b + 12 - 24a - 48{a^2}b + 48{a^3} \le 0\\ \Leftrightarrow 16 + 16{a^2}{b^2} + 4{a^4} + 16ab + 8{a^2} + 16{a^3}b - 24b - 24a - 48{a^2}b + 48{a^3} \le 0\end{array}\)

Rõ ràng có vô số cặp \((a;b);a > 0\) thỏa mãn bất phương trình trên.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.