Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2022^x} - {2022^{ - x}} + x + \sin x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2022^x} - {2022^{ - x}} + x + \sin x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {x + 3} \right) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right) = {2022^x} - {2022^{ - x}} + x + \sin x\) là hàm số đồng biến trên \({\bf{R}}\) và là hàm số lẻ khi\(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
Biến đổi phương trình \(f\left( {x + 3} \right) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0\) về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\). Kết hợp với hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến suy ra \(u = v\,\,\left( * \right)\).
Sau đó, dùng phương pháp cô lập m để biện luận số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {2022^x} - {2022^{ - x}} + x + \sin x\)
\(y' = {2022^x}\ln 2022 + {2022^{ - x}}\ln 2022 + 1 + \cos x > 0\,\,\forall x \in {\bf{R}}\)
Suy ra \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \({\bf{R}}\).
Ta có \(f\left( { - x} \right) = {2022^{ - x}} - {2022^x} - x - \sin x = - \left( {{{2022}^x} - {{2022}^{ - x}} + x + \sin x} \right) = - f\left( x \right)\)
Xét phương trình \(f\left( {x + 3} \right) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = - f\left( {x + 3} \right) = f\left( { - x - 3} \right)\).
Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến nên \({x^3} - 4x + m = - x - 3 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 3 = - m\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
YCBT trở thành phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có ba nghiệm phân biệt.
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + 3,\,\,y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT suy ra \(1 < - m < 5 \Leftrightarrow - 5 < m < - 1\).
Mà \(m \in {\bf{Z}} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2} \right\}\). Vậy có ba giá trị m thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
