Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({{\rm{e}}^{3x}}\left( {4f(x) + f'(x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} ,\,\,f(x) >

Câu hỏi số 532948:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({{\rm{e}}^{3x}}\left( {4f(x) + f'(x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} ,\,\,f(x) > 0\,\,\forall x \ge 0\) và \(f(0) = 1\). Tính \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){\rm{d}}x} \).

A. \(I = \dfrac{{201}}{{640}}\).

B. \(I = \dfrac{{11}}{{24}}\).

C. \(I = \dfrac{{209}}{{640}}\).

D. \(I = - \dfrac{1}{{12}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532948

Phương pháp giải

Từ giả thiết \({{\rm{e}}^{3x}}\left( {4f(x) + f'(x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} ,\,\,f(x) > 0\,\,\forall x \ge 0\), ta biến đổi về dạng:

\(\left( {u.v} \right)' = \,\,g\left( x \right)\).

Suy ra: \(\int {\left( {uv} \right)'dx = \,\int {g(x)dx \Leftrightarrow uv = g\left( x \right) + C} } \).

Từ đó, rút ra \(f\left( x \right)\).

Để tìm C ta sử dụng \(f(0) = 1\).

Từ đó tính \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){\rm{d}}x} \).

Giải chi tiết

Ta có \({{\rm{e}}^{3x}}\left( {4f(x) + f'(x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} ,\,\,f(x) > 0\,\,\forall x \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 2{e^{2x}}\sqrt {f\left( x \right)} + {e^{2x}}.\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{{e^x}}}{\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\left( {{e^{2x}}.\sqrt {f\left( x \right)} } \right)^\prime }{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{{e^x}}}\)

Do đó, \({e^{2x}}.\sqrt {f\left( x \right)} \) là một nguyên hàm của \(\dfrac{1}{{{e^x}}}\).

Suy ra \({e^{2x}}.\sqrt {f\left( x \right)} = \,\,\int {\dfrac{1}{{{e^x}}}dx = \,\, - \,\dfrac{1}{{{e^x}}} + C} \).

Thay \(x = 0 \Rightarrow {e^0}.\sqrt {f\left( 0 \right)} = \,\dfrac{{ - 1}}{{{e^0}}} + C \Rightarrow C = 2\)

Vậy \({e^{2x}}.\sqrt {f\left( x \right)} = \,\dfrac{{ - 1}}{{{e^x}}} + 2 \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = \,\dfrac{{ - 1}}{{{e^{3x}}}} + \,\dfrac{2}{{{e^{2x}}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{e^{3x}}}} + \,\dfrac{2}{{{e^{2x}}}}} \right)^2}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){\rm{d}}x} \,\, = \,\,\int\limits_0^{\ln 2} {{{\left( {\dfrac{2}{{{e^{2x}}}} - \,\dfrac{1}{{{e^{3x}}}}} \right)}^2}dx} = \,\,\int\limits_0^{\ln 2} {\left( {\dfrac{4}{{{e^{4x}}}} - \dfrac{4}{{{e^{5x}}}} + \,\dfrac{1}{{{e^{6x}}}}} \right)dx} \\ = \,\,\left. {\left( {\dfrac{4}{{ - 4{e^{4x}}}} - \,\,\dfrac{4}{{ - 5{e^{5x}}}} + \dfrac{1}{{ - 6{e^{6x}}}}} \right)} \right|_0^{\ln 2} = \,\dfrac{{209}}{{640}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.