Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông; mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông; mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng \(\dfrac{{3\sqrt 5 a}}{5}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \(I;\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB;\,CD,\,K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(SJ\).
Vì mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\)Sử dụng tính chất: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a//\,\,b}\\{b \subset \left( P \right);\,\,a \not\subset \left( P \right)}\end{array}} \right.\, \Rightarrow a//\,\,\left( P \right)\). Khi đó, \(\forall d \subset \left( P \right);\,\,d\left( {a;d} \right) = \,d\left( {a;\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\,\,\left( P \right)} \right)\) trong đó \(I\) là một điểm bất kì thuộc \(a\).
Thể tích hình chóp có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = \,\dfrac{1}{3}Bh\).
Gọi \(I;\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB;\,CD,\,K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(SJ\).
Gọi độ dài cạnh đáy \(AB = x\,\, \Rightarrow SI = \,\dfrac{x}{2};\,\,IJ = x\).
Vì \(AB//\,\,CD\,\, \Rightarrow AB//\,\,\left( {SCD} \right)\, \Rightarrow d\left( {AB;\,\,SD} \right) = \,d\left( {I;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = IK\) .
Suy ra \(d\left( {I;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \,IK = \,\,\dfrac{{IS.IJ}}{{\sqrt {I{S^2} + I{J^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5} = \,\,\dfrac{{x.\dfrac{x}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} }}\,\, = \,\dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}{{\dfrac{{x\sqrt 5 }}{2}}} = \,\dfrac{{x\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = 3a\).
Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là
\(V = \,\dfrac{1}{3}SI.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{x}{2}.\,{x^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\,{\left( {3a} \right)^2} = \,\dfrac{{9{a^3}}}{2}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
