Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 14{x^3} + 36{x^2} + \left( {16 - m} \right)x\) với \(m\) là tham số

Câu hỏi số 532950:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 14{x^3} + 36{x^2} + \left( {16 - m} \right)x\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 7 điểm cực trị?

A. \(33\).

B. \(34\).

C. \(32\).

D. \(31\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532950

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(a\) điểm cực trị dương thì hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có \(2a + 1\) điểm cực trị.

Bài toán trở thành tìm \(m \in {\bf{Z}}\) sao cho phương trình \(y = f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị dương.

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0\). Dùng phương pháp cô lập \(m\) để suy ra các giá trị \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 14{x^3} + 36{x^2} + \left( {16 - m} \right)x\)

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 42{x^2} + 72x + 16 - m\)

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị dương.

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 42{x^2} + 72x + 16 - m\, = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 42{x^2} + 72x + 16 = m\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(h\left( x \right) = 4{x^3} - 42{x^2} + 72x + 16\).

\( \Rightarrow h'\left( x \right) = 12{x^2} - 84x + 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 6}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có ba nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại ba điểm có hoành độ dương.

Dựa vào BBT ta có \(16 < m < 50\).

Mà \(m \in {\bf{Z}} \Rightarrow m \in \left\{ {17;18;19;...;49} \right\}\). Vậy có \(33\) số nguyên m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.