Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{2},b > 1.\) Khi biểu thức \(P = {\log _{2a}}b + {\log _{\sqrt b }}\left( {{a^4} - 4{a^2} + 16} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b\) bằng:
Câu 532951: Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{2},b > 1.\) Khi biểu thức \(P = {\log _{2a}}b + {\log _{\sqrt b }}\left( {{a^4} - 4{a^2} + 16} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b\) bằng:
A. \(4\).
B. \(20\).
C. \(18\).
D. \(14\).
Quảng cáo
+) Sử dụng tính chất \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\,\,\) để chứng minh \({a^4} - 4{a^2} + 16 \ge 4{a^2}\).
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).
+) Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(x + y\, \ge 2\sqrt {xy} \).
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({\left( {{a^2} - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {a^4} - 8{a^2} + 16 \ge 0\, \Leftrightarrow {a^4} - 4{a^2} + 16 \ge 4{a^2}\)
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\) (vì \(a > \dfrac{1}{2}\))
Suy ra \(P \ge {\log _{2a}}b + 2{\log _b}{\left( {2a} \right)^2} = {\log _{2a}}b + \,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}\, \ge 2\sqrt {{{\log }_{2a}}b.\,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}} = 4\)
Dấu xảy ra khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{{{\log }_{2a}}b = \,\,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{{{\log }_{2a}}b = 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = \,{{\left( {2a} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 16}\end{array}} \right.\).
Do đó, \(a + b = 18\).
Vậy để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b = 18\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com