Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{2},b > 1.\) Khi biểu thức \(P = {\log _{2a}}b +

Câu hỏi số 532951:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{2},b > 1.\) Khi biểu thức \(P = {\log _{2a}}b + {\log _{\sqrt b }}\left( {{a^4} - 4{a^2} + 16} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b\) bằng:

A. \(4\).

B. \(20\).

C. \(18\).

D. \(14\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532951

Phương pháp giải

+) Sử dụng tính chất \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\,\,\) để chứng minh \({a^4} - 4{a^2} + 16 \ge 4{a^2}\).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

+) Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(x + y\, \ge 2\sqrt {xy} \).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

Giải chi tiết

Ta có \({\left( {{a^2} - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {a^4} - 8{a^2} + 16 \ge 0\, \Leftrightarrow {a^4} - 4{a^2} + 16 \ge 4{a^2}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\) (vì \(a > \dfrac{1}{2}\))

Suy ra \(P \ge {\log _{2a}}b + 2{\log _b}{\left( {2a} \right)^2} = {\log _{2a}}b + \,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}\, \ge 2\sqrt {{{\log }_{2a}}b.\,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}} = 4\)

Dấu xảy ra khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{{{\log }_{2a}}b = \,\,\dfrac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{{{\log }_{2a}}b = 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = \,{{\left( {2a} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 16}\end{array}} \right.\).

Do đó, \(a + b = 18\).

Vậy để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b = 18\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.