Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left( {a;0\;;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;\;b\;;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}C\left( {0\;;0\;;c} \right)\)với \(a,b,c > 0\) sao cho \(2OA - OB + OC + 5\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 36\). Tính \(a - b + c\) khi thể tích khối chóp \(O.ABC\)đạt giá trị lớn nhất.

Câu 532952: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left( {a;0\;;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;\;b\;;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}C\left( {0\;;0\;;c} \right)\)với \(a,b,c > 0\) sao cho \(2OA - OB + OC + 5\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 36\). Tính \(a - b + c\) khi thể tích khối chóp \(O.ABC\)đạt giá trị lớn nhất.

A. \(1\).

B. \(5\) .

C. \(\dfrac{{ - 36 + 36\sqrt 2 }}{5}\) .

D. \(7\)

Câu hỏi : 532952

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính \(OA;\,\,OB;\,\,OC\). Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V = \,\,\dfrac{1}{6}OA.OB.OC\).

Biểu diễn \(2OA - OB + OC + 5\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 36\) theo \(a;b;c\).

Sử dụng BĐT cô – si cho ba số duơng \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Và BĐT \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) để đánh giá hệ thức đã cho.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c\)
Theo giả thiết ta có \(2OA - OB + OC + 5\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 36 \Leftrightarrow 2a - b + c + 5\sqrt {{b^2} + {c^2}} = 36\)
Khi đó,
\(\begin{array}{l}36 = \,2a - b + c + 5\sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2a - b + c + 5\sqrt {\dfrac{{{{\left( {4b} \right)}^2}}}{{16}} + \,\dfrac{{{{\left( {3c} \right)}^2}}}{9}} \\ \ge 2a - b + c + 5\sqrt {\dfrac{{{{\left( {4b + 3c} \right)}^2}}}{{16 + 9}}} = 2a - b + c + 4b\\ = 2a + 3b + 4c \ge 3\sqrt[3]{{2a.3b.3c}} = \,3\sqrt[3]{{24abc}}\end{array}\)
Suy ra \({36^3} \ge 27.24abc \Leftrightarrow abc \le 72\, \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}abc \le 12\).
Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V = \,\dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \,\dfrac{1}{6}abc\)
Do đó, \({V_{\max }} = 12 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4b}}{{16}} = \,\dfrac{{3c}}{9}}\\{2a = 3b = 4c}\\{36 = 2a - b + c + 5\sqrt {{b^2} + {c^2}} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 4}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)
Vậy \(a - b + c = 5\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.