Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để bất phương trình \(\log _2^2x - \left( {2m + 5} \right){\log _2}x +

Câu hỏi số 538276:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để bất phương trình \(\log _2^2x - \left( {2m + 5} \right){\log _2}x + {m^2} + 5m + 4 < 0\) có ít nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên?

A. 10

B. 3

C. 9

D. 11

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}x\).

- Biện luận phương trình

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\)

Đặt \(t = {\log _2}x\). Khi đó phương trình trở thành \({t^2} - \left( {2m + 5} \right)t + {m^2} + 5m + 4 < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {t - m - 1} \right)\left( {t - m - 4} \right) < 0\\ \Leftrightarrow m + 1 < t < m + 4\\ \Leftrightarrow m + 1 < {\log _2}x < m + 4\\ \Leftrightarrow {2^{m + 1}} < x < {2^{m + 4}}\end{array}\)

Để bất phương trình \(\log _2^2x - \left( {2m + 5} \right){\log _2}x + {m^2} + 5m + 4 < 0\) có ít nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên thì

\(\begin{array}{l}1 < {2^{m + 4}} - {2^{m + 1}} \le 1792\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{14}} < {2^m} \le 128\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{1}{{14}}} \right) < m \le 7\\ \Leftrightarrow m \in \left[ { - 3;7} \right]\end{array}\)

Vậy có 11 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:538276

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.