Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt x \)

Câu hỏi số 540206:

Vận dụng cao

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540206

Phương pháp giải

Từ điều kiện xác định của biểu thức suy ra \(x\left( {1 - x} \right) \ge 0\), sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để tìm giá trị nhỏ nhất của \( \sqrt {1 + x} + \sqrt x \), từ só tính được giá trị nhỏ nhất của P.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 + x \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 1.\)

Với \(0 \le x \le 1,\) ta có: \(x\left( {1 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + 1 - x \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)^2} \ge 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x + \sqrt {1 - x} \ge 1.\\ \Rightarrow P = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt x = \sqrt x + \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + \sqrt x \ge 1 + \sqrt {1 + x} + \sqrt x .\end{array}\)

Với \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1 \Rightarrow P \ge 1 + \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\) Vậy \(Min\;P = 2\;\;khi\;\;x = 0.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link