Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt x \)

Câu hỏi số 540206:

Vận dụng cao

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540206

Phương pháp giải

Từ điều kiện xác định của biểu thức suy ra \(x\left( {1 - x} \right) \ge 0\), sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để tìm giá trị nhỏ nhất của \( \sqrt {1 + x} + \sqrt x \), từ só tính được giá trị nhỏ nhất của P.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 + x \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 1.\)

Với \(0 \le x \le 1,\) ta có: \(x\left( {1 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + 1 - x \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)^2} \ge 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x + \sqrt {1 - x} \ge 1.\\ \Rightarrow P = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt x = \sqrt x + \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + \sqrt x \ge 1 + \sqrt {1 + x} + \sqrt x .\end{array}\)

Với \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1 \Rightarrow P \ge 1 + \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\) Vậy \(Min\;P = 2\;\;khi\;\;x = 0.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.