Cho hàm số\(y = \,\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(I\left( {1;2} \right)\). Tìm

Câu hỏi số 540335:

Vận dụng

Cho hàm số\(y = \,\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(I\left( {1;2} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai đường thẳng \(d:\,\,x - 1 = 0;\,\,d':\,\,y - 2 = 0\) tại hai điểm \(A,\,\,B\) sao cho tam giác \(IAB\) có chu vi nhỏ nhất.

A. \({M_1}\left( {1 + \sqrt 3 ;\,\,2 + \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( {1 - \sqrt 3 ;\,\,2 - \sqrt 3 } \right)\).

B. \({M_1}\left( {1 + 2\sqrt 3 ;\,\,2 + \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( {1 - \sqrt 3 ;\,\,2 - \sqrt 3 } \right)\).

C. \({M_1}\left( {1 - \sqrt 3 ;\,\,2 - \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( {1 - \sqrt 3 ;\,\,2 + \sqrt 3 } \right)\).

D. Đáp án khác.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540335

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {a;\,\dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right) \in \left( C \right)\).

Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với hai đường thẳng \(d;\,\,\,d'\) (theo \(a)\).

Tính khoảng cách \(IA;\,\,IB;\,AB\).

Suy ra chu vi tam giác \(ABC = \,IA + IB + AB\) theo \(a\).

Dùng bất đẳng thức cô -si để tìm \(a.\)

Giải chi tiết

Ta có \(y' = \,\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Lấy điểm \(M\left( {a;\,\dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right) \in \left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\): \(y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}\).

Khi đó tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai đường thẳng \(d:\,\,x - 1 = 0;\,\,d':\,\,y - 2 = 0\) tại hai điểm \(A\left( {1;\,\dfrac{{2a + 4}}{{a - 1}}} \right),\,\,B\left( {2a - 1;2} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}IA = \,\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a + 4}}{{a - 1}} - 2} \right)}^2}} = \,\dfrac{6}{{\left| {a - 1} \right|}};\,\,IB = \,\sqrt {{{\left( {2a - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = \left| {2a - 2} \right|;\\AB = \sqrt {{{\left( {2a - 2} \right)}^2} + \dfrac{{36}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \end{array}\)

Chu vi tam giác \(IAB\) là:

\(\dfrac{6}{{\left| {a - 1} \right|}} + \left| {2a - 2} \right| + \,\sqrt {{{\left( {2a - 2} \right)}^2} + \dfrac{{36}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \,\, \ge 2\sqrt {\dfrac{6}{{\left| {a - 1} \right|}}.\left| {2a - 2} \right|} + \,\sqrt {2\left( {2a - 2} \right).\dfrac{6}{{\left( {a - 1} \right)}}} = 2\sqrt {12} + \sqrt {24} \)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{6}{{\left| {a - 1} \right|}} = \,\left| {2a - 2} \right| \Leftrightarrow 2{\left( {a - 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 3 \).

Suy ra có hai điểm thỏa mãn là \({M_1}\left( {1 + \sqrt 3 ;\,\,2 + \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( {1 - \sqrt 3 ;\,\,2 - \sqrt 3 } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.