Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A;\,\,AB = a\). Góc giữa

Câu hỏi số 540339:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A;\,\,AB = a\). Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(B'\) vằ mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

A. \(a\sqrt 5 \).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) .

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540339

Phương pháp giải

Vì \(AB'\) cắt \(\left( {A'BC} \right)\) tại trung điểm của \(AB' \Rightarrow d\left( {B';\,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A;\,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Để tính \(d\left( {A;\,\left( {A'BC} \right)} \right)\) ta cần xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên \(\left( {A'BC} \right)\).

Giải chi tiết

Vì \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(A'B\) lên \(\left( {ABC} \right)\) nên: \(\left( {A'B;\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \,\left( {A'B;\,\,AB} \right) = \angle A'BA = {45^0}\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow BC \bot A'I\).

Trong \(\left( {A'AI} \right)\) kẻ \(AO \bot A'I \Rightarrow AO \bot \left( {A'BC} \right)\)

Do đó, \(d\left( {A;\,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = AO\).

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(AA' = AB.\tan \angle A'BA = a\)

\(\dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{2{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow AO = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Suy ra khoảng cách từ điểm \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\):\(d\left( {B';\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.