Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left(

Câu hỏi số 541525:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;2} \right)\) và cắt \(\left( C \right)\) theo một dây cung gắn nhất là đường thẳng song song với đường thẳng nào?

A. \(2x - y + 2 = 0\).

B. \(x - y + 5 = 0\).

C. \(x + y - 1 = 0\).

D. \(x - 2y + 1 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541525

Phương pháp giải

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right);\,\,R = \,\sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Tính \(IA\) để xét vị trí điểm \(A\) so với đường tròn.

Dùng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, chứng minh với mọi đường thẳng qua \(A;\,d\left( {I;\,d} \right) \le IA\).

Suy ra để đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( C \right)\) theo một dây cung ngắn nhất thì khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là lớn nhất. Khi đó, \(IA \bot d\).

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 5 = 0\) có tâm \(I\,\left( {2;3} \right)\); bán kính \(R = \,\sqrt {{2^2} + {3^2} - 5} = \,2\sqrt 2 \).

Ta có \(IA = \,\sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 < R\) nên điểm \(A\) nằm trong đường tròn.

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\), ta có: \(d\left( {I;\,\,d} \right) \le IA\,\).

Do đó, để đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;2} \right)\) và cắt \(\left( C \right)\) theo một dây cung ngắn nhất thì khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là lớn nhất.

\( \Leftrightarrow IA \bot d\) tại \(A.\)

Như vậy đường thẳng cần tìm qua \(A\left( {3;2} \right)\) VTPT \(\overrightarrow {IA} \left( {1; - 1} \right)\) có phương trình:

\(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Đường thẳng này song song với đường thẳng \(x - y + 5 = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.