Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\), với \(a,b,c\)

Câu hỏi số 543083:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\), với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(3a + b + c\) bằng?

A. \( - 2\)

B. \( - 1\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543083

Giải chi tiết

Cách 1:

Ta có: \(\dfrac{{mx + n}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{ax + b}} + \dfrac{B}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\)

Áp dụng: \(\dfrac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{x + 2}} + \dfrac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{A\left( {x + 2} \right) + B}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{Ax + \left( {2A + B} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\\2A + B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\\B = - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| {x + 2} \right| + \dfrac{2}{{x + 2}}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\ln 3 + \dfrac{2}{3}} \right) - \left( {\ln 2 + 1} \right) = \ln 3 - \ln 2 - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{3}\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow 3a + b + c = 3.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) - 1 + 1 = - 1\).

Cách 2:

Ta có: \(\dfrac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {x + 2} \right) - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Làm tương tự cách 1.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.