Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1}

Câu hỏi số 543085:

Thông hiểu

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là?

A. \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{2}{{x + 1}} + C\)

B. \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{3}{{x + 1}} + C\)

C. \(2\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{2}{{x + 1}} + C\)

D. \(2\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{3}{{x + 1}} + C\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543085

Giải chi tiết

Phương pháp đồng nhất đa thức:

\(\dfrac{{ax + b}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{mx + n}} + \dfrac{B}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}} = \dfrac{{A\left( {mx + n} \right) + B}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}} = \dfrac{{A.mx + \left( {An + B} \right)}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Am = a\\An + B = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\\B\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{ax + b}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}}dx} = \int {\left[ {\dfrac{A}{{mx + n}} + \dfrac{B}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}}} \right]dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{A}{m}.\ln \left| {mx + n} \right| + \dfrac{{ - B}}{m}.\dfrac{1}{{mx + n}} + C\end{array}\)

\(\left( \begin{array}{l}\int {\dfrac{1}{{mx + n}}dx} = \dfrac{1}{m}.\ln \left| {mx + n} \right| + C\\\int {\dfrac{1}{{{{\left( {mx + n} \right)}^2}}}dx} = - \dfrac{1}{m}.\dfrac{1}{{mx + n}} + C\end{array} \right)\)

Giải:

Giả sử: \(\dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{x + 1}} + \dfrac{B}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{A\left( {x + 1} \right) + B}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{Ax + \left( {A + B} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 2\\A + B = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B = - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{2}{{x + 1}}dx} - \int {\dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = 2\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{3}{{x + 1}} + C\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.