Biết tích phân \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} =

Câu hỏi số 543086:

Vận dụng

Biết tích phân \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \sqrt a - \sqrt b - c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính \(P = a + b + c\)?

A. \(P = 24\)

B. \(P = 12\)

C. \(P = 18\)

D. \(P = 46\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543086

Giải chi tiết

Phương pháp nhân liên hợp \( \Rightarrow \) đưa biểu thức cần tìm nguyên hàm về dạng đơn giản hơn.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }}.\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }}.\dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right) - x}} = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)dx} = \left. {\left( {2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} } \right)} \right|_1^2\\ = 2\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right) - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 4\sqrt 2 - 2\sqrt 3 - 2 = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 12\\c = 2\end{array} \right.\,\, \Rightarrow P = a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46\).

Chú ý:

\(\int {\dfrac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {ax + b} }}.\dfrac{{d\left( {ax + b} \right)}}{a}} = \dfrac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C\)

\(\int {\dfrac{1}{{\sqrt u }}du} = 2\sqrt u + C\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.