Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x +

Câu hỏi số 543144:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\,\,\forall x \in {\bf{R}}\). Khi đó tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng?

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543144

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = x + C\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {x + C} \right)f\left( x \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {x + C} \right)f'\left( x \right)dx} \)

Chọn \(C\) sao cho \(\dfrac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \dfrac{\pi }{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( x \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)f'\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0 + \pi - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right).\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \approx 4,00844\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.