Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\). Biết \(f\left( 4 \right) = 1\)

Câu hỏi số 543146:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\). Biết \(f\left( 4 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {x.f\left( {4x} \right)dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_0^4 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng?

A. \(\dfrac{{31}}{2}\)

B. \( - 16\)

C. \(8\)

D. \(14\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543146

Giải chi tiết

Xử lý: \(\int\limits_0^1 {x.f\left( {4x} \right)dx} = 1\)

Đặt \(4x = t \Rightarrow dx = \dfrac{1}{4}dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right)dx} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {\dfrac{t}{4}f\left( t \right)dt} = 1\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {tf\left( t \right)dt} = 16 \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {x.f\left( x \right)dx} = 16\)

Xử lý tích phân: \(I = \int\limits_0^4 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^4 - 2\int\limits_0^4 {f\left( x \right)xdx} = \left[ {{4^2}.f\left( 4 \right) - {0^2}.f\left( 0 \right)} \right] - 2.16 = \left( {16.1 - 0} \right) - 32 = - 16\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.