Cho đường thẳng \(y = x\) và parabol \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi

Câu hỏi số 543149:

Vận dụng cao

Cho đường thẳng \(y = x\) và parabol \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\dfrac{3}{7};\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{7}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543149

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{1}{2}{x^2} + a = x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2a = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Từ hình vẽ, ta thấy \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt, do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2a > 0\\2 > 0\\2a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \dfrac{1}{2}\)

Khi đó, giả sử \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + a - x} \right)dx} \\{S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} { - \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + a - x} \right)dx} \end{array} \right.\)

Theo yêu cầu bài toán: \({S_1} = {S_2}\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + a - x} \right)dx} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} { - \left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + a - x} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x + a} \right)dx} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x + a} \right)dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_2}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - x + a} \right)dx} = 0 \Leftrightarrow \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_2}} = 0\)

\(\left( 2 \right)\)

Vì \({x_2}\) là một nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) nên:

\({x_2}^2 - 2{x_2} + 2a = 0 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{2}{x_2}^2 + {x_2}\), thay vào \(\left( 2 \right)\) được:

\({x_2}^2 - 3{x_2} + 6.\left( { - \dfrac{1}{2}{x_2}^2 + {x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x_2}^2 + 3{x_2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(a = - \dfrac{1}{2}{x_2}^2 + {x_2} = - \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{8}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.