Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz,\)cho mặt phẳng\(\left( P \right): - x + 2y + 2x

Câu hỏi số 543204:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz,\)cho mặt phẳng\(\left( P \right): - x + 2y + 2x - 3 = 0\), mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {z^2} - 10x - 4y - 6z + 2 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(M,N\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) nhỏ nhất là

A. \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\)

B. \(2\sqrt {30} \)

C. \(\dfrac{{3\sqrt {30} }}{2}\)

D. \(\sqrt {30} \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543204

Phương pháp giải

Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt của mặt phẳng (P)

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{5^2} + {2^2} + {3^2} - 2} = 6\).

Mặt phẳng (P) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 1;2;2} \right)\).

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 5 + 2.2 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{3} < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

\(IA = \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 6 < R\) \( \Rightarrow \) Điểm A nằm trong mặt cầu.

Gọi H là trung điểm của MN. Khi đó IH vuông góc với MN

\( \Rightarrow MN = 2HN\)\( = 2\sqrt {I{N^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {36 - I{H^2}} \)

Do đó MN min \( \Leftrightarrow \) IH max

Vì tam giác IAH vuông tại H \( \Rightarrow IH \le IA\)

\( \Rightarrow \) MN min \( \Leftrightarrow \) \(IH = IA = \sqrt 6 \) \( \Rightarrow MN = 2\sqrt {36 - 6} = 2\sqrt {30} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.