Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz,\)cho mặt phẳng\(\left( P \right): - x + 2y + 2x
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz,\)cho mặt phẳng\(\left( P \right): - x + 2y + 2x - 3 = 0\), mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {z^2} - 10x - 4y - 6z + 2 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(M,N\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) nhỏ nhất là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt của mặt phẳng (P)
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{5^2} + {2^2} + {3^2} - 2} = 6\).
Mặt phẳng (P) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 1;2;2} \right)\).
Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 5 + 2.2 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{3} < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
\(IA = \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 6 < R\) \( \Rightarrow \) Điểm A nằm trong mặt cầu.
Gọi H là trung điểm của MN. Khi đó IH vuông góc với MN
\( \Rightarrow MN = 2HN\)\( = 2\sqrt {I{N^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {36 - I{H^2}} \)
Do đó MN min \( \Leftrightarrow \) IH max
Vì tam giác IAH vuông tại H \( \Rightarrow IH \le IA\)
\( \Rightarrow \) MN min \( \Leftrightarrow \) \(IH = IA = \sqrt 6 \) \( \Rightarrow MN = 2\sqrt {36 - 6} = 2\sqrt {30} \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
