Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x + 1\), biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của

Câu hỏi số 543602:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x + 1\), biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right)\) bằng

A. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \cos x + 2\)

B. \(F\left( x \right) = {x^3} - \cos x + x + 2\)

C. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \cos x + x\)

D. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543602

Phương pháp giải

- Tính nguyên hàm của một hàm số cho trước. Sử dụng \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).

- Sử dụng giả thiết \(F\left( 0 \right) = 1\) tìm hằng số C.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x + 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {{x^2} + \sin x + 1} \right)dx} \\ & \,\,\, = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + C\,\,\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\end{array}\)

Lại có: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( 0 \right) = 1\).

\( \Rightarrow - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.