Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {2;3;5} \right),\,\,B\left( { - 1;3;2} \right),\,\,C\left( { -

Câu hỏi số 543611:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {2;3;5} \right),\,\,B\left( { - 1;3;2} \right),\,\,C\left( { - 2;1;3} \right),\,\,D\left( {5;7;4} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) di động trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi biểu thức \(T = 4M{A^2} + 5M{B^2} - 6M{C^2} + M{D^4}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b + c\) bằng

A. 11.

B. -11.

C. 12.

D. 9.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543611

Phương pháp giải

Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(x\overrightarrow {IA} + y\overrightarrow {IB} + z\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) (1). Khi đó:

\(xM{A^2} + yM{B^2} + zM{C^2} = xI{A^2} + yI{B^2} + zI{C^2} + \left( {x + y + z} \right)I{M^2}\).

Từ đẳng thức (1) ta tìm được tọa độ điểm \(I\) nên \(xI{A^2} + yI{B^2} + zI{C^2}\) không đổi.

Vậy \(xM{A^2} + yM{B^2} + zM{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)I{M^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có: \(4\overrightarrow {DA} + 5\overrightarrow {DB} - 6\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)

Khi đó: \(T = 4M{A^2} + 5M{B^2} - 6M{C^2} + M{D^4} = 4D{A^2} + 5D{B^2} - 6D{C^2} + 3M{D^2} + M{D^4}\).

Do \(A,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(4D{A^2} + 5D{B^2} - 6D{C^2}\) không đổi.

Vậy \(T = 4M{A^2} + 5M{B^2} - 6M{C^2} + M{D^4}\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 3M{D^2} + M{D^4}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\( \Leftrightarrow MD\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(M\left( {a;b;c} \right)\) di động trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow MD\,\)đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Leftrightarrow M\left( {5;7;0} \right)\)

Vậy tổng \(a + b + c\) bằng 12.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.