Ở một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài \(l\) và \(4l\) đang dao động

Câu hỏi số 550514:

Vận dụng cao

Ở một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài \(l\) và \(4l\) đang dao động điều hòa trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng với cùng biên độ góc \({\alpha _0} = 10,{0^0}\). Quan sát các con lắc dao động thì thấy rằng: khi các dây treo của hai con lắc song song với nhau thì li độ góc của mỗi con lắc chỉ có thể nhận giá trị \({\alpha _1}\) hoặc giá trị \({\alpha _2}\) hoặc giá trị \({\alpha _3}\) \(\left( {{\alpha _1} < {\alpha _2} < {\alpha _3}} \right)\) . Giá trị của \({\alpha _3}\) là:

A. \(8,{7^0}\)

B. \(7,{1^0}\)

C. \(9,{4^0}\)

D. \(7,{9^0}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550514

Phương pháp giải

Chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \Rightarrow T \sim \sqrt l \)

Khoảng thời gian ngắn nhất hai con lắc lặp lại trạng thái của thời điểm \(t = 0\):

\(\Delta {t_{\min }} = m{T_1} = n{T_2}\)

Giải phương trình lượng giác:

\(\alpha = \beta \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \beta + m2\pi \\\alpha = - \beta + n2\pi \end{array} \right.\)

Giải chi tiết

+ Chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \Rightarrow T \sim \sqrt l \)

Có \({l_1} = l;{l_2} = 4l \Rightarrow {T_2} = 2{T_1} \Rightarrow {\omega _1} = 2.{\omega _2}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng thời gian ngắn nhất hai con lắc lặp lại trạng thái của thời điểm \(t = 0\):

\(\Delta {t_{\min }} = m{T_1} = n{T_2} \Rightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \dfrac{2}{1}\)

+ Khi \(0 < t \le \Delta {t_{\min }}\) thì pha tương ứng của con lắc 2 là: \(0 \le {\omega _2}t \le 2\pi \)

Giả sử: \(\left\{ \begin{array}{l}{\alpha _1} = {\alpha _0}.cos\left( {{\omega _1}t + \Delta \varphi } \right)\\{\alpha _2} = {\alpha _0}.cos\left( {{\omega _2}t} \right)\end{array} \right.\)

Khi hai dây treo song song: \({\alpha _1} = {\alpha _2}\)

\( \Leftrightarrow {\alpha _0}.cos\left( {{\omega _1}t + \Delta \varphi } \right) = {\alpha _0}.cos\left( {{\omega _2}t} \right)\)

\( \Leftrightarrow cos\left( {2{\omega _2}t + \Delta \varphi } \right) = cos\left( {{\omega _2}t} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\omega _2}t + \Delta \varphi = {\omega _2}t + 2k\pi \\2{\omega _2}t + \Delta \varphi = - {\omega _2}t + 2k'\pi \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\omega _2}t = 2k\pi - \Delta \varphi \\{\omega _2}t = - \dfrac{{\Delta \varphi }}{3} + \dfrac{{2k'\pi }}{3}\end{array} \right.\)

Mà \(0 \le {\omega _2}t \le 2\pi \)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\omega _2}t = 2\pi - \Delta \varphi \\{\omega _2}t = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{\Delta \varphi }}{3}\\\dfrac{{4\pi }}{3} - \dfrac{{\Delta \varphi }}{3}\\\dfrac{{6\pi }}{3} - \dfrac{{\Delta \varphi }}{3} = 2\pi - \dfrac{{\Delta \varphi }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Nếu \(\Delta \varphi = 0\), bốn pha của con lắc hai lần lượt là: \(2\pi ;\dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{{4\pi }}{3};2\pi \) tương ứng với 2 vị trí gặp nhau vì hai pha \(2\pi ,2\pi \) cùng cho một vị trí; hai pha \(\dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{{4\pi }}{3}\) cùng cho một vị trí\( \Rightarrow \) có 2 vị trí gặp nhau.

Mà bài cho có 3 ví trí gặp nhau \( \Rightarrow \) loại.

+ Nếu \(\Delta \varphi = \pi \)\( \Rightarrow \) cũng cho 2 vị trí gặp nhau \( \Rightarrow \) loại.

+ Nếu \(\Delta \varphi = \dfrac{\pi }{2}\) \( \Rightarrow \) có các nghiệm: \(\dfrac{{3\pi }}{2};\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{7\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{6}\).

Hai pha \(\dfrac{{3\pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}\) cho hai vật gặp nhau tại VTCB (li độ bằng 0).

Pha \(\dfrac{{7\pi }}{6}\) tương ứng với vị trí gặp nhau là \( - \dfrac{{{\alpha _0}\sqrt 3 }}{2}\)

Pha \( - \dfrac{\pi }{6}\) tương ứng với vị trí gặp nhau là \(\dfrac{{{\alpha _0}\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \) Thỏa mãn có 3 vị trí gặp nhau.

Mà \({\alpha _1} < {\alpha _2} < {\alpha _3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\alpha _1} = - \dfrac{{{\alpha _0}\sqrt 3 }}{2}\\{\alpha _0} = 0\\{\alpha _3} = \dfrac{{{\alpha _0}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{10.\sqrt 3 }}{2} = 8,{7^0}\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.