Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left(

Câu hỏi số 559476:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\) Tính góc \(\varphi \) giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

A. \(\varphi = 45^\circ .\)

B. \(\varphi = 60^\circ .\)

C. \(\varphi = 30^\circ .\)

D. \(\varphi = 90^\circ .\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559476

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Tính \(SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}}\).

- Tính SD.

- Chứng minh \(CD \bot SD\) và tính \({S_{SCD}} = \dfrac{1}{2}SD.CD\).

- Xác định góc giữa SB và (SCD).

- Tính \(BI = \dfrac{{3{V_{B.SCD}}}}{{{S_{SCD}}}} = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{2{S_{SCD}}}}\).

- Tính SB.

- Tính góc.

Giải chi tiết

Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SAD} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

Do đó \(SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = a.\)

Tam giác SAD vuông tại A nên \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 .\)

Ta có \(CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD.\)

Vậy diện tích tam giác SCD là: \({S_{SCD}} = \dfrac{1}{2}SD.CD = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) khi đó \(\left( {SB,\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {SB,SI} \right) = \angle BSI.\)

Mặt khác, \(BI = \dfrac{{3{V_{B.SCD}}}}{{{S_{SCD}}}} = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{2{S_{SCD}}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAB vuông tại A nên \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 .\)

Tam giác SIB vuông tại I nên \(\sin \angle BSI = \dfrac{{BI}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle BSI = {30^0}.\)

Vậy \(\left( {SB,\left( {SCD} \right)} \right) = 30^\circ .\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.