Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục

Câu hỏi số 559478:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Khi đó hàm số \(y = f\left( {4x - 4{x^2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559478

Giải chi tiết

Theo đề bài thì \(y = f\left( x \right)\)có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và \(y = f'\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\\u\left( x \right) = 0\end{array} \right.;\) với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ, còn \(u\left( x \right) = 0\) chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập \(\left\{ {0;1;2} \right\}\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {4x - 4{x^2}} \right),\) ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {4 - 8x} \right)f'\left( {4x - 4{x^2}} \right).\)

Giải \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 8x = 0\\f'\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)

Do đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 8x = 0\\4x - 4{x^2} = 0\\4x - 4{x^2} = 1\\4x - 4{x^2} = 2\\u\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 1 = 0\\x\left( {x - 1} \right) = 0\\{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} = 0\\u\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \dfrac{1}{2}\\u\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)

+) Xét phương trình \(u\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0.\)

Giả sử a là một nghiệm của phương trình \(u\left( x \right) = 0\) thì từ \(a \notin \left\{ {0;1;2} \right\}\) ta thấy phương trình \(4x - 4{x^2} = a\) không có nghiệm nào thuộc tập \(\left\{ {0;\dfrac{1}{2};1} \right\}.\) Suy ra các nghiệm \(x = 0;x = 1\) là nghiệm đơn còn \(x = \dfrac{1}{2}\) là nghiệm bội 3 của phương trình \(f'\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\).

+) Nếu phương trình \(u\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\) có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình \(f'\left( {4x - 4{x^2}} \right) = 0\).

Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình \(g\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;\dfrac{1}{2};1} \right\}.\) Do đó, hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - 4{x^2}} \right)\) có 3 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.