Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 4 đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 3}}{{ - 1}} =

Câu hỏi số 560006:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 4 đường thẳng

\({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{z}{1};\,\,\) \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}};\,\,\) \({d_3}:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}};\,\,\) \({d_4}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = a + 3t\\z = b + t\end{array} \right.\) với \(t\) là tham số và \(a,\,\,b \in {\bf{R}}\)

Biết rằng không có đường thẳng nào đồng thời cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Giá trị của biểu thức \(2b - a\) bằng

A. -2.

B. 3.

C. 2.

D. -3.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560006

Phương pháp giải

- Chứng minh \({d_1}//{d_3}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \({d_1},\,\,{d_3}\).

- Chứng minh \({d_1},\,\,{d_4}\) cắt \(\left( \alpha \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).

- Tìm \(a,\,\,b\) để \(MN//{d_1}//{d_3}\).

Giải chi tiết

Đường thẳng \({d_1}\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {3; - 3;0} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {0; - 2; - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương \(\overrightarrow {AB} \) nên \({d_1}//{d_3}\).

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \({d_1},\,\,{d_3}\).

Khi đó \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = 2.\left( {1;2; - 1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến và \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(B\left( {0; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình \(x + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z + 3 = 0\).

Dễ thấy \(\left( \alpha \right):\,\,x + 2y - z + 3 = 0\) cắt \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) tại điểm \(M\left( {0; - 1;1} \right)\).

\({d_4}\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;3;1} \right)\). Do \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{u_4}} \ne 0\) nên \(\left( \alpha \right),\,\,{d_4}\) cắt nhau.

Gọi tọa độ giao điểm tương ứng của chúng là \(N\left( {6 + t;a + 3t;b + t} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {6 + t;a + 1 + 3t;b - 1 + t} \right)\).

Vì không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho nên suy ra \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{{6 + t}}{{ - 1}} = \dfrac{{a + 1 + 3t}}{1} = \dfrac{{b - 1 + t}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 + 3t = - 6 - t\\b - 1 + t = - 6 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4t = 7 + a\\4t = - 10 - 2b\end{array} \right. \Rightarrow 2b - a = - 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.