Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có đúng 9 số nguyên \(y\) thỏa mãn

Câu hỏi số 560008:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có đúng 9 số nguyên \(y\) thỏa mãn \(\left( {{2^{y + 1}} - {x^2}} \right)\left( {{3^y} - x} \right) < 0\)?

A. 67.

B. 128.

C. 53.

D. 64.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560008

Phương pháp giải

- Xét 2 TH:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{y + 1}} - {x^2} > 0\\{3^y} - x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - 1 < y < {\log _3}x\,\,\left( 1 \right)\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{y + 1}} - {x^2} < 0\\{3^y} - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _3}x < y < {\log _2}{x^2} - 1\,\,\left( 2 \right)\)

Chặn giá trị của \(y\) để có đúng 9 số nguyên thỏa mãn. Từ đó tìm \(x\).

Giải chi tiết

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{y + 1}} - {x^2} > 0\\{3^y} - x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - 1 < y < {\log _3}x\,\,\left( 1 \right)\)

Điều kiện cần \({\log _2}{x^2} - 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x - 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow x < 1,65\).

Vì \(x \in {{\bf{Z}}^ + } \Rightarrow x = 1\).

Thử lại \(x = 1\) loại.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{y + 1}} - {x^2} < 0\\{3^y} - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _3}x < y < {\log _2}{x^2} - 1\,\,\left( 2 \right)\)

Để có đúng 9 số nguyên \(y\) ta phải có \(y - 1 \le {\log _3}x < y < y + 1 < ... < y + 8 < {\log _2}{x^2} - 1 \le y + 9\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{y - 1}} \le x < {3^y}\\{2^{\dfrac{{y + 9}}{2}}} < x \le {2^{\dfrac{{y + 10}}{2}}}\end{array} \right.\)

Hệ trên vô nghiệm\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{\dfrac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y - 1}}\\{3^y} \le {2^{\dfrac{{y + 9}}{2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y > 6,06\\y \le 4,14\end{array} \right.\)

Từ đó, \(y\) nguyên ta được hệ có nghiệm khi \(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = 6\end{array} \right.\).

Do đó ta chỉ có 2 trường hợp sau thỏa mãn bài toán

+ \(y \in \left\{ {5;6;,,,;13} \right\}\) nghĩa là \(4 \le {\log _3}x < 5;6;...;13 < {\log _2}{x^2} - 1 \le 14\) ta được \(x \in \left\{ {129;...;181} \right\}\) có 53 số nguyên.

+ \(y \in \left\{ {6;7;...;14} \right\}\) nghĩa là \(5 \le {\log _3}x < 6;7;...;14 < {\log _2}{x^2} - 1 \le 15\) ta được \(x \in \left\{ {243;...;256} \right\}\) có 14 số nguyên.

Vậy có 67 số nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.