Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,x \ge 0\\{x^2}{\left( {{x^3} + 1}

Câu hỏi số 560009:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,x \ge 0\\{x^2}{\left( {{x^3} + 1} \right)^3},\,\,x < 0\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\) và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = a.e - \dfrac{b}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in {\bf{N}}*\); \(\dfrac{b}{c}\) tối giản \(\left( {e = 2,718281828...} \right)\). Biểu thức \(a + b + c + m\) có giá trị bằng

A. 36.

B. 13.

C. 35.

D. -11.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560009

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên \({\bf{R}}\). Từ đó tìm được \(m\)

- Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \).

- Tính \(a + b + c + m\).

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \({\bf{R}}\).

Rõ ràng hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi giá trị của \(m\).

Theo giả thiết hàm số liên tục trên \({\bf{R}}\)\( \Leftrightarrow \)Hàm số liên tục tại \(x = 0\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{e^x} + m} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^3}} \right) = 1 + m \Leftrightarrow m = - 1\)

Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = I + J\) trong đó:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^3}dx} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^3}d\left( {{x^3} + 1} \right)} = \left. {\dfrac{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^4}}}{{12}}} \right|_{ - 1}^0 = \dfrac{1}{{12}}\\J = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = e - 2\end{array}\)

Từ đó ta được \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = e - 2 + \dfrac{1}{{12}} = 1.e - \dfrac{{23}}{{12}}\).

Từ đó \(a = 1;\,\,b = 23;\,\,c = 12;\,\,m = - 1\) nên \(a + b + c + m = 1 + 23 + 12 - 1 = 35\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.