Giả sử \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 -
Giả sử \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 - i\overline z } \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tìm quỹ tích của điểm \(A,\,\,B\) biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).
- Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {OM} \).
- Ta có: \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM\).
Khi đó \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) nhỏ nhất khi \(4OM\) nhỏ nhất.
Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in {\bf{R}}\).
Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).
Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6 \Rightarrow AB = 6\).
Hơn nữa \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 - i\overline z } \right) = \left( {x + yi - 6} \right)\left( {8 - xi - y} \right) = 8x + 6y - 48 - \left( {{x^2} + {y^2} - 6x - 8y} \right)i\).
Theo giả thiết \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 - i\overline z } \right)\) là số thực nên \({x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\).
Do đó \(A,\,\,B \in \left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\) là đường tròn tâm \(I\left( {3;4} \right),\,\,R = 5\).
Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {OM} \).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Khi đó \(H{I^2} = {R^2} - H{B^2} = 16,\,\,IM = \sqrt {H{I^2} + H{M^2}} = \sqrt {16 + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {73} }}{2}\).
Do đó điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) bán kính \({R_1} = \dfrac{{\sqrt {73} }}{2}\), tâm \(I\left( {3;4} \right)\).
Ta có: \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM\).
Khi đó \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) nhỏ nhất khi \(4OM\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 4OM = 4\left| {OI - {R_1}} \right| = 4.\left( {5 - \dfrac{{\sqrt {73} }}{2}} \right) = 20 - 2\sqrt {73} \)
Vậy \(\min \left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = 20 - 2\sqrt {73} \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
